Kleine Sachen mit Python

Der Python-Interpeter kommt – einge­schränkt - mit beliebig großen ganzen Zahlen zurecht. Allein der Rechner gibt mit seinen end­lichen Ressourcen die einschrän­kenden Grenzen vor.

Jede natürliche Zahl n hat bezüglich einer ge­ge­be­nen Basis b eine eindeutige Zerlegung in Ziffern z_k(n).

Hier wird die Zahl 10 als Basis gewählt, also b=10:

Die obere Summationsgrenze m ist gegeben durch die natürliche Zahl, die die rechts stehende Bedingung erfüllt:

Die Zahl n hat dann (m+1) Ziffern.

Ein Beispiel, für die Zahl 105 ist m=2:

Die Quersumme einer natürlichen Zahl ist dann einfach die Summe ihrer Ziffern:

Die Quersumme von 105 ist 6=1+0+5.

Das Problem

Was für eine Quersumme hat (etwa) die Zahl 2¹⁰⁰⁰? Die Zahl steht in Ziffern ausge­schrieben nebenan:

Selber zu zählen ist doch einfach zu mühsam.

Wir versuchen es mit etwas Python-Code.

2¹⁰⁰⁰ = 1 0 7 1 5 0 8 6 0 7 1 8 6 2 6 7 3 2 0 9 4 8 4 2 5 0 4 9 0 6 0 0 0 1 8 1 0 5 6 1 4 0 4 8 1 1 7 0 5 5 3 3 6 0 7 4 4 3 7 5 0 3 8 8 3 7 0 3 5 1 0 5 1 1 2 4 9 3 6 1 2 2 4 9 3 1 9 8 3 7 8 8 1 5 6 9 5 8 5 8 1 2 7 5 9 4 6 7 2 9 1 7 5 5 3 1 4 6 8 2 5 1 8 7 1 4 5 2 8 5 6 9 2 3 1 4 0 4 3 5 9 8 4 5 7 7 5 7 4 6 9 8 5 7 4 8 0 3 9 3 4 5 6 7 7 7 4 8 2 4 2 3 0 9 8 5 4 2 1 0 7 4 6 0 5 0 6 2 3 7 1 1 4 1 8 7 7 9 5 4 1 8 2 1 5 3 0 4 6 4 7 4 9 8 3 5 8 1 9 4 1 2 6 7 3 9 8 7 6 7 5 5 9 1 6 5 5 4 3 9 4 6 0 7 7 0 6 2 9 1 4 5 7 1 1 9 6 4 7 7 6 8 6 5 4 2 1 6 7 6 6 0 4 2 9 8 3 1 6 5 2 6 2 4 3 8 6 8 3 7 2 0 5 6 6 8 0 6 9 3 7 6 

Vom Hirn direkt in die Tasten der Tastatur?

Man braucht einen Algorithmus, gegossen in Mathematik? Kein Problem, aber es geht auch einfacher, mit Pythons Listen und dem Wunsche, einfach keinen Ziffern­algorithmus stricken zu wollen.

Die kompakte Funktion quersumme(n) liefert die Quer­sum­me einer natür­lichen Zahl n:

quersumme(n) – ein Ein­zei­ler und ein ein­faches Bei­spiel für die Eleganz der funktionalen Program­mierung - verwendet werden nur einge­baute Funk­tionen der Sprache Python.

Die Funktion str wandelt die natürliche Zahl n in eine Zeichen­kette um, list macht daraus eine Liste von Einzel­zeichen, map wendet die Funktion int auf jedes Element dieser Liste an, man erhält so in einer weiteren Liste die Ziffern der Zahl n, sum läuft über diese Liste und summiert die Ziffern mit dem Start­wert 0 auf zu der gewünsch­ten Quer­summe.

Meine Funktion quersumme soll zusätz­lich noch die Anzahl der Ziffern der Zahl n zurück­geben, dazu wird als Zwischen­ergebnis die Liste der Ziffern digitsList der Zahl n benötigt, die einge­baute Funktion len gibt die Anzahl der Elemente der Liste digitsList zurück.

quersumme gibt schließ­lich als Ergebnis in einem Zweier­tupel die Anzahl der Ziffern und eben die Quer­sum­me zurück.

Sehr elegant: Diesen Rück­gabe­wert kann man in einer Zuwei­sung gleich den Tupel­elementen 'Zahl der Ziffern' und 'Quer­summe' des Zweier­tupels (zz,qs) zuweisen.

Die Zahlen für den Test liefert mir ein Generatorausdruck, der in runden Klammern ge­klam­mert wird, ein Beispiel: ( (k,2**(10**k)) for k in range(7) ). Ein Generator­ausdruck liefert keine voll­ständige Liste zurück, sondern Generator­objekte, über die man iterieren kann – hier sind das Zweier­tupel der Bau­weise (5,2**(10**5)).

Die Formatierung von Text­ausgaben ist wohl in jeder Program­mier­sprache eine mehr oder we­ni­ger kryp­tische Ange­legen­heit, mir helfen meist nur vorge­fundene Bei­spiele, so auch hier für die schöne spalten­weise Ausgabe der Resul­tate.

Testzahlen sind die Potenzen 2**(10**k), k=0..7, ein Beispiel 2**(10**5) = 2¹⁰⁰⁰⁰⁰, man erhält eine wunder­bare Zahlen­wüste, es gibt ja Gehirne, die sich solche Kolonnen noch mer­ken können - oder gar im Kopf aus­rechnen können? Oder von der Zahlen­kolonne auf die Potenz schließen können?

Die Zahl 2**(10**5) hat 30103 Ziffern und die Quer­summe ist 135178. Wenn Sie in der Mi­nu­te 20 Ziffern auf­addieren, brauchen Sie 25 Stunden für den Zeit­vertreib. Als kleine Hil­fe­stel­lung habe ich die Ziffern unter­schiedlich einge­färbt: